WikiSort.ru - Не сортированное

Разная эффективная масса

Переход в область с другой массой может быть аналогичной прохождению над барьером. Волновая функция записывается в двух областях как:

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)}$

где:

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2m_{1}E}{\hbar ^{2}}}}}$ и ${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m_{2}E}{\hbar ^{2}}}}}$ модули волновых векторов.

Сшивка волновой функции на границе:

${\displaystyle 1+r=t}$

и токов вероятности

${\displaystyle {\frac {\hbar k_{1}}{m_{1}}}-r{\frac {\hbar k_{1}}{m_{1}}}=t{\frac {\hbar k_{2}}{m_{2}}}}$

позволяет найти коэффициенты ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle t}$ по формулам:

${\displaystyle r={\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}}$

${\displaystyle t={\frac {2{\sqrt {m_{1}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}.}$

Коэффициенты отражения и прохождения в этом случае записываются, как:

${\displaystyle R=|r|^{2}=\left({\frac {{\sqrt {m_{1}}}-{\sqrt {m_{2}}}}{{\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {k_{2}m_{1}}{m_{2}k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {m_{1}m_{2}}}}{\left({\sqrt {m_{1}}}+{\sqrt {m_{2}}}\right)^{2}}}}$

При равенстве эффективных масс нет никакого отражения.

Разная потенциальная энергия

Задачу о переходе в область с другой потенциальной энергией можно решить аналогично

${\displaystyle \psi _{1}(x)=e^{ik_{1}x}+re^{-ik_{1}x}\,(x<0)}$

${\displaystyle \psi _{2}(x)=te^{ik_{2}x}\,(x>0)}$

${\displaystyle k_{1}={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}}}$

${\displaystyle k_{2}={\sqrt {\frac {2m(E-V)}{\hbar ^{2}}}}}$

${\displaystyle 1+r=t}$

${\displaystyle i\hbar k_{1}-ir\hbar k_{1}=it\hbar k_{2}}$

${\displaystyle r={\frac {k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}}}$

${\displaystyle t={\frac {2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}}}$

В итоге получим коэффициенты отражения и прохождения

${\displaystyle R=|r|^{2}=\left({\frac {1-{\sqrt {1-V/E}}}{1+{\sqrt {1-V/E}}}}\right)^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {k_{2}}{k_{1}}}|t|^{2}={\frac {4{\sqrt {1-V/E}}}{\left(1+{\sqrt {1-V/E}}\right)^{2}}}}$