WikiSort.ru - Не сортированное

Лине́йность по пара́метрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель ${\displaystyle g_{0}(y)=f(x,b)+\varepsilon }$ называется линейной по параметрам ${\displaystyle b}$ , если функция регрессии ${\displaystyle f(x,b)}$ обладает свойством:

${\displaystyle \forall j~~{\frac {\partial f}{\partial b_{j}}}=g_{j}(x)}$

где ${\displaystyle g_{0},g_{j}}$  — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

${\displaystyle f(x,b)=\sum _{j=1}^{k}b_{j}g_{j}(x)+\varepsilon }$

Если обозначить ${\displaystyle z_{0}=g_{0}(y)~,~z_{j}=g_{j}(x)}$ , то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

${\displaystyle z_{0}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}z_{j}+\varepsilon }$

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приёмы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба — Дугласа):

${\displaystyle y=AK^{\alpha }L^{\beta }\nu }$

где ${\displaystyle \nu }$  — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение, получим линейную по параметрам модель:

${\displaystyle \ln y=\ln A+\alpha \ln K+\beta \ln L+\ln \nu =a+\alpha \ln K+\beta \ln L+\varepsilon }$

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель ${\displaystyle y=AK^{\alpha }L^{\beta }+\varepsilon }$ линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Обратная линейная модель

${\displaystyle {\frac {1}{y}}=\sum _{j=0}^{k}b_{j}{\frac {1}{x_{j}}}+\varepsilon }$

Для улучшения этой статьи желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.