WikiSort.ru - Не сортированное

Квантование колебаний на примере фонона

Рассмотрим скалярную модель кристаллической решетки, согласно которой атомы колеблются вдоль одного направления. Пользуясь базисом плоских волн, напишем выражение для смещений атомов в узле:

${\displaystyle u_{n}(t)=\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}(t)\phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n}),}$

${\displaystyle \phi _{\vec {k}}({\vec {r}}_{n})={\frac {1}{\sqrt {N}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}_{n}}.}$

В такой форме ${\displaystyle Q_{\vec {k}}}$ называют обобщенными координатами. Тогда лагранжиан системы:

${\displaystyle L=\sum _{n}{\frac {m{\dot {u}}_{n}^{2}}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n,n^{'}}A({\vec {r}}_{n}-{\vec {r}}_{n^{'}})u_{n}u_{n^{'}}}$

выразится в терминах ${\displaystyle Q_{\vec {k}}}$ в виде:

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\sum {\vec {k}}({\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}}).}$

Отсюда выражается канонический импульс и гамильтониан:

${\displaystyle P_{\vec {k}}={\frac {\delta L}{\delta {\dot {Q}}_{\vec {k}}}}=m{\dot {Q}}_{\vec {k}}^{*},}$

${\displaystyle H=\sum _{\vec {\vec {k}}}P_{\vec {k}}{\dot {Q}}_{\vec {k}}-L={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}(P_{\vec {k}}P_{\vec {k}}^{*}+m^{2}\omega _{\vec {k}}^{2}Q_{\vec {k}}^{*}Q_{\vec {k}}).}$

Квантование действия производится требованием операторных правил коммутации для обобщенной координаты и импульса (${\displaystyle \hbar =1}$ ):

${\displaystyle [Q_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}},}$

${\displaystyle [Q_{\vec {k}},Q_{{\vec {k}}^{'}}]=[P_{\vec {k}},P_{{\vec {k}}^{'}}]=0.}$

Для перехода к фононному представлению используют язык вторичного квантования, определив операторы рождения ${\displaystyle a_{\vec {k}}^{+}}$ и уничтожения ${\displaystyle a_{\vec {k}}}$ квантового фононного поля:

${\displaystyle [a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}^{+}]=i\delta _{{\vec {k}},{\vec {k}}^{'}}\,\,\,\,\,\,\,[a_{\vec {k}},a_{{\vec {k}}^{'}}]=0.}$

Прямым вычислением можно проверить, что требуемые правила коммутации выполняются для операторов:

${\displaystyle Q_{\vec {k}}={\frac {1}{\sqrt {2m\omega _{\vec {k}}}}}(a_{\vec {k}}^{+}e^{i\omega t}+a_{-{\vec {k}}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t}),}$

${\displaystyle P_{\vec {k}}=i{\sqrt {\frac {\omega _{\vec {k}}m}{2}}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}e^{i\omega t}-a_{\vec {k}}e^{-i\omega _{\vec {k}}t}).}$

Заменив знак комплексного сопряжения ${\displaystyle Q_{\vec {k}}^{*}}$ на ${\displaystyle Q_{\vec {k}}^{+}}$ и учтя, что энергия — чётная функция квазиимпульса, ${\displaystyle \omega _{\vec {k}}=\omega _{-{\vec {k}}}}$ (из однородности), получим выражения для кинетической и потенциальной частей гамильтониана:

${\displaystyle K={\frac {1}{2m}}\sum _{\vec {k}}P_{\vec {k}}P_{-{\vec {k}}}=-{\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}}),}$

${\displaystyle H={\frac {m\omega _{\vec {k}}^{2}}{2}}\sum _{\vec {k}}Q_{\vec {k}}Q_{-{\vec {k}}}={\frac {1}{4}}\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{-{\vec {k}}}^{+}-a_{\vec {k}})(a_{\vec {k}}^{+}-a_{-{\vec {k}}}).}$

Тогда гамильтониан примет вид:

${\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}\omega _{\vec {k}}(a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}}).}$

Иначе можно переписать:

${\displaystyle H=\sum _{\vec {k}}E_{\vec {k}}(n_{\vec {k}}+{\frac {1}{2}}),}$

где

${\displaystyle n_{\vec {k}}=a_{\vec {k}}^{+}a_{\vec {k}}}$  — оператор количества частиц, фононов,

${\displaystyle E_{\vec {k}}=\omega _{\vec {k}}}$  — энергия фонона с импульсом ${\displaystyle {\vec {k}}.}$

Такое описание колебаний в кристалле называется гармоническим приближением. Оно соответствует лишь рассмотрению квадратичных членов по смещениям в гамильтониане.