WikiSort.ru - Не сортированное

Интерполяционная формула Гаусса — формула, использующая в качестве узлов интерполяции ближайшие к точке интерполирования x узлы. Если ${\displaystyle x=x_{0}+th}$ , то формула

${\displaystyle G_{2n+1}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) \over (2n)!},\qquad (1)}$

написанная по узлам ${\displaystyle x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh}$ , называется формулой Гаусса для интерполирования вперед, а формула

${\displaystyle G_{2n+1}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \over 2!}+\ldots +f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) \over (2n)!},\qquad (2)}$

написанная по узлам ${\displaystyle x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh}$ , называется формулой Гаусса для интерполирования назад. В формулах (1) и (2) использованы конечные разности, определяемые следующим образом:

${\displaystyle f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\ f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}$

Преимущество интерполяционной формулы Гаусса состоит в том, что указанный выбор узлов интерполяции обеспечивает наилучшую оценку остаточного члена по сравнению с любым другим выбором, а упорядоченность узлов по мере их близости к точке интерполяции уменьшает вычислительную погрешность интерполирования.

Литература

• Березин И. С., Жидков Н. П., Методы вычислений, т. 1, 3 изд., М., 1966.
• Бахвалов Н. С., Численные методы, М., 1973.