WikiSort.ru - Не сортированное

Класси́ческая тео́рия тяготе́ния Ньютона (Зако́н всемирного тяготе́ния Ньютона) — закон, описывающий гравитационное взаимодействие в рамках классической механики. Этот закон был открыт Ньютоном около 1666 года. Он гласит, что сила ${\displaystyle F}$ гравитационного притяжения между двумя материальными точками массы ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ , разделёнными расстоянием ${\displaystyle r}$ , пропорциональна обеим массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними — то есть

$${\displaystyle F=G\cdot {m_{1}\cdot m_{2} \over r^{2}}}$$

Здесь ${\displaystyle G}$  — гравитационная постоянная, равная 6,67408(31)·10⁻¹¹ м³/(кг·с²)^[1].

Свойства ньютоновского тяготения

В ньютоновской теории каждое массивное тело порождает силовое поле притяжения к этому телу, называемое гравитационным полем. Это поле потенциально.

Гравитационное взаимодействие в теории Ньютона распространяется мгновенно, так как сила тяготения зависит только от взаимного расположения притягивающихся тел в данный момент времени. Также для ньютоновских гравитационных сил справедлив принцип суперпозиции: сила тяготения, действующая на частицу со стороны нескольких других частиц, равна векторной сумме сил притяжения со стороны каждой частицы. Сила тяготения сообщает всем телам одинаковое ускорение, независимо от массы, химического состава и других свойств тел (принцип эквивалентности)^[2].

В случае, если поле создаётся расположенной в начале координат точечной массой ${\displaystyle M}$ , функция гравитационного потенциала определяется формулой:

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-G{\frac {M}{r}}}$ ,

при этом потенциал на бесконечности принят равным нулю.

В общем случае, когда плотность вещества ${\displaystyle \rho }$ распределена произвольно, ${\displaystyle \varphi }$ удовлетворяет уравнению Пуассона:

${\displaystyle \Delta \varphi ({\vec {r}})=-4\pi G\rho ({\vec {r}})}$ .

Решение данного уравнения записывается в виде:

${\displaystyle \varphi ({\vec {r}})=-G\int _{V^{\prime }}{\frac {\rho ({\vec {r}}^{\prime })dV^{\prime }}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{\prime }|}}+C}$ .

Здесь ${\displaystyle {\vec {r}}}$ — радиус-вектор точки, в которой определяется потенциал, ${\displaystyle {\vec {r}}^{\prime }}$ — радиус-вектор элемента объёма ${\displaystyle dV^{\prime }}$ c плотностью вещества ${\displaystyle \rho ({\vec {r}}^{\prime })}$ , а интегрирование охватывает все такие элементы; ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.

Сила притяжения, действующая в гравитационном поле на материальную точку с массой ${\displaystyle m}$ , связана с потенциалом формулой:

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-m\nabla \varphi ({\vec {r}})}$ .

Если поле создаётся точечной массой ${\displaystyle M}$ , расположенной в начале координат, то на точку массой ${\displaystyle m}$ действует сила

${\displaystyle {\vec {F}}({\vec {r}})=-G{\frac {mM}{r^{3}}}\cdot {\vec {r}}}$ .

Величина этой силы зависит только от расстояния ${\displaystyle r}$ между массами, но не от направления радиус-вектора ${\displaystyle {\vec {r}}}$ (см. формулу в преамбуле).

Сферически симметричное тело создаёт за своими пределами такое же поле, как материальная точка той же массы, расположенная в центре тела.

Траектория материальной точки в гравитационном поле, создаваемом много большей по массе материальной точкой, подчиняется законам Кеплера. В частности, планеты и кометы в Солнечной системе движутся по эллипсам или гиперболам. Влияние других планет, искажающее эту картину, можно учесть с помощью теории возмущений.

Точность закона всемирного тяготения Ньютона

Экспериментальная оценка степени точности закона тяготения Ньютона является одним из подтверждений общей теории относительности.^[3] Опыты по измерению квадрупольного взаимодействия вращающегося тела и неподвижной антенны показали^[4], что приращение ${\displaystyle \delta }$ в выражении для зависимости ньютоновского потенциала ${\displaystyle r^{-(1+\delta )}}$ на расстояниях нескольких метров находится в пределах ${\displaystyle (2,1\pm 6,2)*10^{-3}}$ . Другие опыты также подтвердили отсутствие модификаций в законе всемирного тяготения^[5].

Закон всемирного тяготения Ньютона в 2007 г. был проверен и на расстояниях, меньших одного сантиметра (от 55 мкм до 9,53 мм). С учетом погрешностей эксперимента в исследованном диапазоне расстояний отклонений от закона Ньютона не обнаружено^[6].

Прецизионные лазерные дальнометрические наблюдения за орбитой Луны^[7] подтверждают закон всемирного тяготения на расстоянии от Земли до Луны с точностью ${\displaystyle 3\cdot 10^{-11}}$ .

Связь с геометрией евклидова пространства

Факт равенства с очень высокой точностью (${\displaystyle 10^{-9}}$ ) показателя степени расстояния в знаменателе выражения для силы тяготения числу ${\displaystyle 2}$ отражает евклидову природу трёхмерного физического пространства механики Ньютона. В трёхмерном евклидовом пространстве площадь поверхности сферы точно пропорциональна квадрату её радиуса^[8].

Исторический очерк

Сама идея всеобщей силы тяготения неоднократно высказывалась и до Ньютона. Ранее о ней размышляли Эпикур, Гассенди, Кеплер, Борелли, Декарт, Роберваль, Гюйгенс и другие^[9]. Кеплер полагал, что тяготение обратно пропорционально расстоянию до Солнца и распространяется только в плоскости эклиптики; Декарт считал его результатом вихрей в эфире^[10]. Были, впрочем, догадки с правильной зависимостью от расстояния; Ньютон в письме к Галлею упоминает как своих предшественников Буллиальда, Рена и Гука^[11]. Но до Ньютона никто не сумел ясно и математически доказательно связать закон тяготения (силу, обратно пропорциональную квадрату расстояния) и законы движения планет (законы Кеплера).

В своём основном труде «Математические начала натуральной философии» (1687) Исаак Ньютон вывел закон тяготения, основываясь на эмпирических законах Кеплера, известных к тому времени. Он показал, что:

• наблюдаемые движения планет свидетельствуют о наличии центральной силы;
• обратно, центральная сила притяжения приводит к эллиптическим (или гиперболическим) орбитам.

Теория Ньютона имела ряд существенных отличий от гипотез предшественников. Ньютон не просто опубликовал предполагаемую формулу закона всемирного тяготения, но фактически предложил целостную математическую модель:

• закон тяготения;
• закон движения (второй закон Ньютона);
• система методов для математического исследования (математический анализ).

В совокупности эта триада достаточна для полного исследования самых сложных движений небесных тел и тем самым создаёт основы небесной механики. До Эйнштейна никаких принципиальных поправок к указанной модели не понадобилось, хотя математический аппарат оказалось необходимым значительно развить.

Отметим, что теория тяготения Ньютона уже не была, строго говоря, гелиоцентрической. Уже в задаче двух тел планета вращается не вокруг Солнца, а вокруг общего центра тяжести, так как не только Солнце притягивает планету, но и планета притягивает Солнце. Наконец, выяснилась необходимость учесть влияние планет друг на друга.

В течение XVIII века закон всемирного тяготения был предметом активной дискуссии (против него выступали сторонники школы Декарта) и тщательных проверок. К концу века стало общепризнанным, что закон всемирного тяготения позволяет с огромной точностью объяснить и предсказать движения небесных тел. Генри Кавендиш в 1798 году осуществил прямую проверку справедливости закона тяготения в земных условиях, используя исключительно чувствительные крутильные весы^[12]. Важным этапом стало введение Пуассоном в 1813 году понятия гравитационного потенциала и уравнения Пуассона для этого потенциала; эта модель позволяла исследовать гравитационное поле при произвольном распределении вещества^[13]. После этого ньютоновский закон стал рассматриваться как фундаментальный закон природы.

В то же время ньютоновская теория содержала ряд трудностей. Главная из них — необъяснимое дальнодействие: сила притяжения передавалась непонятно как через совершенно пустое пространство, причём бесконечно быстро. По существу ньютоновская модель была чисто математической, без какого-либо физического содержания. Кроме того, если Вселенная, как тогда предполагали, евклидова и бесконечна, и при этом средняя плотность вещества в ней ненулевая, то возникает гравитационный парадокс. В конце XIX века обнаружилась ещё одна проблема: расхождение теоретического и наблюдаемого смещения перигелия Меркурия^[14].

Дальнейшее развитие

См. также

• Закон Кулона
• Гравитационная неустойчивость

Примечания

Литература

• Визгин В. П. Релятивистская теория тяготения. Истоки и формирование. 1900-1915 гг.. — М.: Наука, 1981. — 352 с.
• Тюлина И. А. Об основах ньютоновой механики (к трехсотлетию «Начал» Ньютона) // История и методология естественных наук. — М.: МГУ, 1989. — Вып. 36. — С. 184-196..