WikiSort.ru - Не сортированное

Уравнение Лондонов (в некоторых источниках — уравнение Лондона) устанавливает связь между током и магнитным полем в сверхпроводниках. Впервые оно было получено в 1935 г. братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами^[1]. Уравнение Лондонов дало первое удовлетворительное объяснение эффекта Мейсснера — спадания магнитного поля в сверхпроводниках. Затем в 1953 г. было получено уравнение Пиппарда для чистых сверхпроводников.

Уравнение Лондона

В полной мере смысл механизма упорядочения в сверхпроводимости был впервые осознан физиком-теоретиком Фрицем Лондоном^[2]. Осознав, что электродинамическое описание, основанное исключительно на уравнениях Максвелла, в пределе нулевого сопротивления неизбежно будет предсказывать необратимое поведение идеального проводника и не будет давать обратимый диамагнетизм сверхпроводника, Лондон ввел дополнительное уравнение. Вид этого уравнения можно получить различными способами, например путём минимизации свободной энергии относительно распределения тока и поля^[3] или в предположении абсолютной жесткости сверхпроводящих волновых функций по отношению к воздействию внешнего поля; для наших целей, однако, достаточно считать его интуитивной гипотезой, полностью оправдываемой своим успехом.

Уравнение, предложенное Лондоном, имеет вид

${\displaystyle {\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {j} +\mathbf {B} =0,}$

где ${\displaystyle \mathbf {j} }$  — плотность тока, ${\displaystyle \mathbf {B} }$  — магнитная индукция, ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi nq^{2}}}}$ , m и q — масса и заряд сверхпроводящих носителей тока, n — плотность этих носителей.

Первое уравнение Лондонов

Уравнение движения для единичного объема сверхпроводящих электронов в электрическом поле имеет вид:

${\displaystyle nm{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=ne\mathbf {E} ,}$

где ${\displaystyle n}$ , ${\displaystyle \mathbf {v} }$ , ${\displaystyle m}$ - соответственно концентрация, скорость и масса (сверхпроводящих) электронов. Вводя плотность сверхтока согласно${\displaystyle \mathbf {j} =ne\mathbf {v} }$ , получим первое уравнение Лондонов:

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {d}{dt}}(\Lambda \mathbf {j} ),\ \ \Lambda ={\frac {m}{ne^{2}}}.}$

Второе уравнение Лондонов (Вывод)

Воспользуемся уравнениями Максвелла в виде:

${\displaystyle \operatorname {rot} \,\mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} }$

для нахождения объемной плотности кинетической энергии сверхпроводящих электронов:

${\displaystyle \mathbf {W} _{k}={\frac {nmv^{2}}{2}}={\frac {mj^{2}}{2ne^{2}}}={\frac {\lambda ^{2}}{8\pi }}(\operatorname {rot} \,\mathbf {H} )^{2},}$

где ${\displaystyle \lambda ^{2}={\frac {mc^{2}}{4\pi ne^{2}}}.}$

Также объемная плотность магнитной энергии равна ${\displaystyle {\frac {H^{2}}{8\pi }}}$ , тогда свободная энергия может быть записана в виде (${\displaystyle F_{0}}$ - свободная энергия без магнитного поля) интеграла по объему сверхпроводника:

${\displaystyle F=F_{0}+{\frac {1}{8\pi }}\int [H^{2}+\lambda ^{2}(\operatorname {rot} \,\mathbf {H} )^{2}]dV.}$

Первая вариация по полю равна:

${\displaystyle \delta F={\frac {1}{8\pi }}\int [2\mathbf {H} \delta \mathbf {H} +2\lambda ^{2}\operatorname {rot} \,\mathbf {H} \operatorname {rot} \delta \mathbf {H} ]dV={\frac {1}{4\pi }}\int [\mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} ]\delta \mathbf {H} dV-{\frac {\lambda ^{2}}{4\pi }}\int \operatorname {div} [\operatorname {rot} \mathbf {H} ;\delta \mathbf {H} ]dV=0.}$

Учитывая, что второй интеграл равен нулю (по формуле Гаусса-Остроградского он сводится к интегралу по поверхности, где вариация полагается нулю), имеем

${\displaystyle \mathbf {H} +\lambda ^{2}\operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {H} =0.}$

Что вместе с выражением для векторного потенциала ${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {c}{4\pi \lambda ^{2}}}\mathbf {A} }$ , первым уравнением Лондонов и выбором калибровки Лондонов ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {A} )=0,\ \ \mathbf {A} \mathbf {n} =0}$ дает искомое уравнение:

${\displaystyle {\frac {4\pi \lambda ^{2}}{c}}\operatorname {rot} \mathbf {J} +\mathbf {B} =0.}$

См. также

• Уравнение Пиппарда

Примечания

Литература

• Тилли Д. Р., Тилли Дж. Свехтекучесть и сверхпроводимость. — М.: Мир, 1977. — 304 с.