WikiSort.ru - Не сортированное

Сглаженный восьмиугольник — это область плоскости, предположительно, имеющая самую малую наибольшую плотность упаковки плоскости из всех центрально симметричных выпуклых фигур^[1]. Фигура получается заменой углов правильного восьмиугольника секцией гиперболы, которая касается двух сторон угла и асимптотически приближается к продолжениям сторон восьмиугольника, смежным сторонам угла.

Максимальная плотность упаковки

Сглаженный восьмиугольник имеет максимальную плотность упаковки

${\displaystyle {\frac {8-4{\sqrt {2}}-\ln {2}}{2{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.902414\,.}$ ^[2]

Эта плотность меньше максимальной плотности упаковки кругов, которая равна

${\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {12}}}\approx 0.906899.}$

Максимальная плотность упаковки обычных правильных восьмиугольников равна

${\displaystyle {\frac {4+4{\sqrt {2}}}{5+4{\sqrt {2}}}}\approx 0.906163,}$

что также слегка меньше максимальной плотности упаковки кругов, но больше плотности упаковки сглаженного восьмиугольника^[3].

Сглаженный восьмиугольник достигает максимальной плотности упаковки не только для единственной упаковки, а для однопараметрического семейства упаковок. Все они являются решёточными упаковками^[4].

Для трёхмерного пространства гипотеза Улама об упаковках^[en] утверждает, что нет выпуклой фигуры, имеющей наибольшую плотность упаковки, меньшую упаковки шаров.

Построение

При рассмотрении семейств максимально плотных упаковок сглаженного восьмиугольника, требование, что плотность упаковки остаётся неизменной при изменении точки соприкосновения соседних восьмиугольников, может быть использовано для определения формы углов. На рисунке три восьмиугольника вращаются, в то время как площадь треугольника, образованного центрами этих восьмиугольников, не меняется. Для правильных восьмиугольников красные и синие фрагменты перекрываются, так что для возможности вращения необходимо углы срезать в точке, лежащей на полпути между центрами восьмиугольников, что даёт кривую, которая оказывается гиперболой.

Гипербола строится как касательная к двум сторонам восьмиугольника и имеющая асимптотами две смежные этим сторонам стороны восьмиугольника. Расположим правильный восьмиугольник с радиусом описанной окружности ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ и центром в точке ${\displaystyle (2+{\sqrt {2}},0)}$ . Одна вершина будет находиться в точке ${\displaystyle (2,0)}$ . Определим две константы, ℓ и m:

${\displaystyle \ell ={\sqrt {2}}-1}$

${\displaystyle m={\sqrt[{4}]{\frac {1}{2}}}}$

Гипербола тогда задаётся уравнением

${\displaystyle \ell ^{2}x^{2}-y^{2}=m^{2}}$

или, в эквивалентной параметризованной форме (только для правой части гиперболы):

${\displaystyle {\begin{cases}x={\frac {m}{\ell }}\cosh {t}\\y=m\sinh {t}\end{cases}}-\infty <t<\infty }$

Порция гиперболы, которая образует углы, задаётся значениями параметра

${\displaystyle -{\frac {\ln {2}}{4}}<t<{\frac {\ln {2}}{4}}}$

Прямые восьмиугольника, касательные гиперболе

${\displaystyle y=\pm \left({\sqrt {2}}+1\right)\left(x-2\right)}$

Асимптоты к гиперболе

${\displaystyle y=\pm \ell x.}$

См. также

• Упаковка кругов
• Гипотеза Улама об упаковках^[en]

Примечания

Литература

• K. Reinhardt. Über die dichteste gitterförmige Lagerung kongruenter Bereiche in der Ebene und eine besondere Art konvexer Kurven // Abh. Math. Sem. Hamburg. — 1934. — Вып. 10. — С. 216-230.
• Steven Atkinson, Yang Jiao, Salvatore Torquato. Maximally dense packings of two-dimensional convex and concave noncircular particles // Phys. Rev. E. — 2012. — Т. 86, вып. 03. Архивировано 24 августа 2014 года.
• Yoav Kallus. Least efficient packing shapes // Geometry and Topology. — 2013. — Май.

Ссылки

• The thinnest densest two-dimensional packing?. Peter Scholl, 2001.