WikiSort.ru - Не сортированное

Решётка в теории групп может иметь два значения:

• Дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.
• Свободная коммутативная группа конечного ранга (то есть изоморфная ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ) с билинейной формой на ней.

Решётки в евклидовом пространстве

В случае ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , решётки — это дискретные абелевы подгруппы максимального ранга, то есть подгруппы, имеющие вид

${\displaystyle \Gamma =\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} v_{1}+\dots +\mathbb {Z} v_{n},}$

где вектора ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}\in R^{n}}$ линейно независимы

Решётки в SL(2,R)

В случае группы Ли ${\displaystyle SL(2,\mathbb {R} )}$ , решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )\subset SL(2,\mathbb {R} )}$ объём фактора по ней конечен, однако ${\displaystyle SL(2,\mathbb {Z} )}$ не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Примечания

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение). Добавить иллюстрации.