WikiSort.ru - Не сортированное

Д’Аламбера — Лагранжа принцип — один из основных принципов механики, согласно которому, если к заданным (активным) силам, действующим на точки механической системы присоединить силы инерции, то при движении механической системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ активных сил и элементарных работ сил инерции на любом возможном (виртуальном) перемещении системы равна нулю^[1]

Принцип Д’Аламбера-Лагранжа является объединением принципа возможных перемещений статики и принципа Д'Аламбера динамики. Его использование позволяет изучать движения механических систем с идеальными связями, не вводя в уравнения движения неизвестные реакции связей.

Вывод

Пусть механическая система с голономными, удерживающими, идеальными связями представлена материальными точками с массами ${\displaystyle m_{1},m_{2},...,m_{N}}$ ^[2]. Пусть к каждой материальной точке ${\displaystyle m_{i}}$ приложены активные силы с равнодействующей ${\displaystyle {\vec {F_{i}}}}$ и пассивные силы с равнодействующей ${\displaystyle {\vec {N_{i}}}}$ . Согласно второму закону Ньютона:

${\displaystyle m_{i}{\vec {w_{i}}}={\vec {F_{i}}}+{\vec {N_{i}}}}$

или

${\displaystyle {\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}}+{\vec {N_{i}}}=0}$ (1)

Зафиксируем теперь некоторый момент времени и сообщим механической системе виртуальное (возможное) перемещение ${\displaystyle \delta {\vec {r_{1}}},\delta {\vec {r_{2}}},...,\delta {\vec {r_{N}}}}$ . Умножим скалярно каждое уравнение (1) на соответствующее ${\displaystyle \delta {\vec {r_{i}}}}$ и суммируем все уравнения:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{i}}}+\sum _{i=1}^{N}{\vec {N_{i}}}\delta {\vec {r_{i}}}=0}$

Сумма работ идеальных связей на любом виртуальном перемещении равна нулю, поэтому:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}({\vec {F_{i}}}-m_{i}{\vec {w_{i}}})\delta {\vec {r_{i}}}=0}$

Это равенство называется общим уравнением механики.

Во всякой механической системе с идеальными удерживающими связями в каждый момент времени движения на любом виртуальном перемещении сумма механических работ, производимых активными силами и силами инерции, всегда равна нулю.

См. также

• Второй закон Ньютона
• Принцип Д’Аламбера

Примечания