WikiSort.ru - Не сортированное

Для функции нескольких переменных ${\displaystyle f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}$ можно определить понятие предела по одной из переменных ${\displaystyle \ {{x}_{k}}}$ при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

Определение

Рассмотрим функцию двух переменных ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ , определенную в некоторой проколотой окрестности точки ${\displaystyle \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}$ . Выберем и зафиксируем переменную ${\displaystyle x}$ . Получим функцию как бы одной переменной. Рассмотрим предел:

${\displaystyle \varphi \left(x\right)={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Будем считать, что ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ существует. Теперь снимем фиксацию с переменной ${\displaystyle x}$ и рассмотрим следующий предел:

${\displaystyle A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,\varphi \left(x\right)}$

Если этот предел существует, то говорят, что ${\displaystyle A}$ есть повторный предел функции ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ в точке ${\displaystyle \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)}$ .

${\displaystyle A={\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Аналогично мы можем фиксировать сначала переменную ${\displaystyle y}$ . В этом случае мы также получим повторный предел, но, вообще говоря, другой:

${\displaystyle B={\underset {y\to {{y}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,{\underset {x\to {{x}_{0}}}{\mathop {\lim } }}\,f\left(x,y\right)}$

Это определение можно распространить и на функции нескольких переменных ${\displaystyle f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}$ .

Равенство повторных пределов

Пусть функция ${\displaystyle f\left({{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{d}}\right)}$ , определена в выколотой окрестности точки ${\displaystyle {{X}^{0}}=\left(x_{1}^{0},\ldots ,x_{d}^{0}\right)}$ и имеет в этой точке предел (обычный). Тогда любой повторный предел в точке ${\displaystyle \ {{X}^{0}}}$ существует и равен обычному пределу этой функции в этой же точке.

В обратную сторону утверждение, вообще говоря, неверно.

См. также

• Предел функции

Литература

• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 14. Функции нескольких переменных // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — Т. 1. — 648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0536-1.