WikiSort.ru - Не сортированное

Пример с фишками

Пусть есть четыре шляпы (две чёрных и две серых), 41 фишки (23 цветных и 18 белых) и два стола (А и Б). Фишки распределены по шляпам следующим образом:

• В чёрной шляпе на столе А лежат 5 цветных и 6 белых фишек.
• В серой шляпе на столе А лежат 3 цветные и 4 белые фишки.
• В чёрной шляпе на столе Б лежат 6 цветных и 3 белых фишки.
• В серой шляпе на столе Б лежат 9 цветных и 5 белых фишек.

Допустим, что вы хотите вытащить цветную фишку.

Если вы находитесь около стола А, то вероятность извлечь цветную фишку из чёрной шляпы равна 5/11 = 35/77, а из серой шляпы на том же столе — 3/7 = 33/77; таким образом, цветную фишку больше шансов вытащить из чёрной шляпы, чем из серой.

Если вы находитесь около стола Б, то вероятность извлечь цветную фишку из чёрной шляпы равна 6/9 = 84/126, а из серой шляпы — 9/14 = 81/126; таким образом, и здесь цветную фишку больше шансов вытащить из чёрной шляпы, чем из серой.

Допустим теперь, что фишки из двух чёрных шляп сложены в одну чёрную шляпу на столе Б, а фишки из двух серых шляп — в одну серую шляпу на столе Б. На первый взгляд, логично было бы предположить, что вероятность вытащить цветную фишку из чёрной шляпы выше, чем из серой. Но это неверно:

• вероятность вытащить цветную фишку из чёрной шляпы на столе Б равна 11/20 = 231/420,
• вероятность вытащить цветную фишку из серой шляпы на столе Б равна 12/21 = 240/420,

т.е. больше шансов извлечь цветную фишку из серой шляпы, чем из чёрной^[4].

Пример с камнями

Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень из набора №1 выше, чем из набора №2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора №3 больше, чем из набора №4. Объединим набор №1 с набором №3 (получим набор I), а набор №2 — с набором №4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако в общем случае такое утверждение неверно.

Математическое доказательство такое. Пусть ${\displaystyle n_{i}}$  — число чёрных камней в ${\displaystyle i}$ -ом наборе (выборке), ${\displaystyle m_{i}}$  — общее число камней в ${\displaystyle i}$ -ом наборе при ${\displaystyle i=1,2,3,4}$ . По условию:

${\displaystyle {\frac {n_{1}}{m_{1}}}>{\frac {n_{2}}{m_{2}}},{\frac {n_{3}}{m_{3}}}>{\frac {n_{4}}{m_{4}}}.}$

Вероятность вытащить чёрный камень из наборов I и II, соответственно:

${\displaystyle {\frac {n_{1}+n_{3}}{m_{1}+m_{3}}},{\frac {n_{2}+n_{4}}{m_{2}+m_{4}}}.}$

Выражение для набора I не всегда больше выражения для набора II. Например: ${\displaystyle n_{1}=6,~m_{1}=13,~n_{2}=4,~m_{2}=9,~n_{3}=6,~m_{3}=9,~n_{4}=9,~m_{4}=14}$ .

Легко проверить, что ${\displaystyle 6/13>4/9,~6/9>9/14}$ . В то время как ${\displaystyle 12/22<13/23}$ .