WikiSort.ru - Не сортированное

В топологии, надстройкой над топологическим пространством X называется топологическое пространство SX, являющееся фактором произведения ${\displaystyle X\times [0,1]}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (x,0)\sim (x',0),\quad (x,1)\sim (x',1)}$ :

${\displaystyle SX=(X\times [0,1])/\{\forall x_{1},x_{2}\in X\quad (x_{1},0)\sim (x_{2},0),\quad (x_{1},1)\sim (x_{2},1)\}}$

Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Свойства

• Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну ${\displaystyle X\star S^{0}}$ пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») ${\displaystyle S^{0}}$ .
• Любое непрерывное отображение ${\displaystyle f:X\to Y}$ продолжается до отображения ${\displaystyle Sf:SX\to SY}$ по правилу ${\displaystyle Sf(x,t)=(f(x),t)}$ .
• Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: ${\displaystyle {\overline {H}}_{k}(SX)={\overline {H}}_{k-1}(X)}$ для всех k.

См. также

• Теорема о двойной надстройке
• Конус (топология)

Ссылки

• Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян