WikiSort.ru - Не сортированное

Группа Гейзенберга — группа, состоящая из квадратных матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

где элементы a, b, c принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей. В качестве такого кольца R чаще всего берется:

• кольцо вещественных чисел ${\displaystyle R=\mathbb {R} }$ — так называемая непрерывная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {R} )}$ , или
• кольцо целых чисел ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$ — так называемая дискретная группа Гейзенберга, обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} )}$ , или
• кольцо вычетов ${\displaystyle R=\mathbb {Z} _{p}}$ с простым числом p — группа обозначается ${\displaystyle H_{3}(\mathbb {Z} _{p})}$ .

Названа в честь Вернера Гейзенберга, который использовал эту группу в квантовой механике: непрерывная группа Гейзенберга используется для описания одномерных квантово-механических систем.

Вариации и обобщения

Группа Гейзенберга обобщается на любое число измерений. Именно, группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2},\ n\geq 1,}$ состоит из квадратных матриц порядка n+2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a&c\\0&E_{n}&b\\0&0&1\\\end{pmatrix}},}$

где ${\displaystyle E_{n}}$ — единичная матрица порядка n и ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ — вектор-строка, ${\displaystyle b=(b_{1},\ldots ,b_{n})^{*}}$ — вектор-столбец, элементы ${\displaystyle a_{i},b_{i},c}$ принадлежат какому-либо коммутативному кольцу с единицей.

Непрерывная группа Гейзенберга ${\displaystyle H_{n+2}(\mathbb {R} )}$ представляет собой связную, односвязную группу Ли (с топологией, порожденной стандартной топологией ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ), алгебра Ли которой (размерности 2n+1) состоит из матриц вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&c\\0&0_{n}&b\\0&0&0\\\end{pmatrix}},\qquad a=(a_{1},\ldots ,a_{n}),\quad b=(b_{1},\ldots ,b_{n})^{*},\qquad a_{i},b_{i},c\in \mathbb {R} ,}$

где ${\displaystyle 0_{n}}$ — нулевая квадратная матрица порядка n.

Примечания

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений, — М.: Наука, 1978.
• Ernst Binz & Sonja Pods. Geometry of Heisenberg Groups, — American Mathematical Society, 2008, ISBN 978-0-8218-4495-3.
• Roger Evans Howe. On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis, — Bulletin of the American Mathematical Society 1980, 3(2):821.
• A.A. Kirilov. Lectures on the Orbit Method (Chapter 2: Representations and Orbits of the Heisenberg Group), — American Mathematical Society, 2004.

Это заготовка статьи по алгебре. Вы можете помочь проекту, дополнив её.