Примеры
Пусть ориентированное дерево
является звездой
, в которой все рёбра ориентированы от центра к листьям. Тогда
нельзя вложить в турнир, образованный из вершин регулярного
-угольника путём направления всех рёбер по часовой стрелке вокруг многоугольника. Для этого турнира любая полустепень входа и любая полустепень выхода равны
, в то время как центральная вершина
имеет большую полустепень выхода,
.[3]. Таким образом, если гипотеза Самнера верна, она даёт наилучший возможный размер универсального графа для ориентированных деревьев.
Однако в любом турнире с
вершинами, средняя полустепень выхода равна
, а максимальная полустепень выхода равно целому числу, большему или равному среднему значению. Таким образом, существует вершина с полустепенью выхода
, которую можно использовать в качестве центральной вершины для копии
.
Частичные результаты
Известны следующие частичные результаты.
- Гипотеза верна для всех достаточно больших значений
[4].
- Существует функция
с асимптотической скоростью роста
со свойством, что любое ориентированное дерево с
вершинами может быть вложено в подграф любого турнира с
вершинами. Кроме того, и более явно,
.[5]
- Существует функция
, такая, что турниры с
вершинами являются универсальными для ориентированных деревьев с
листьями[6][7][8].
- Существует функция
, такая, что любое ориентированное дерево с
вершинами с максимальной степенью, не превосходящей
, образует подграф любого турнира с
вершинами. Если
является фиксированной константой, скорость асимптотического роста
равна
[2].
- Любой «почти регулярный» турнир с
вершинами содержит любое ориентированное дерево с
вершинами[9].
- Любая ориентированная гусеница с
вершинами и диаметром, не превосходящим четырёх, может быть вложена в качестве подграфа в любой турнир с
вершинами[9].
- Любой турнир с
вершинами содержит в качестве подграфа любой ориентированный корневой граф[en] с
вершинами[10].
Связанные гипотезы
Розенфельд[11] высказал гипотезу, что любой ориентированный путь с
вершинами (при
) может быть вложен в качестве подграфа в любой турнир с
вершинами[9]. После частичных результатов, полученных Томасоном[12], гипотезу доказали Аве и Томасси[7].
Аве и Томасси[13], в свою очередь высказал усиленную гипотезу Самнера, что любой турнир с
вершинами содержит в качестве подграфа любое ориентированное дерево с не более чем
листьями.
Бёрр[14] высказал гипотезу, что если граф
требует
и более цветов для раскраски графа
, тогда любая ориентация графа
содержит любую ориентацию дерева с
вершинами. Поскольку полные графы требуют различные цвета для каждой вершины, гипотеза Самнера следует немедленно из гипотезу Бёрра[15]. Как показал Бёрр, ориентации графов, хроматическое число которых растёт квадратично от
, являются универсальными для ориентированных деревьев.
Примечания
- ↑ (Kühn, Mycroft, Osthus 2011a). Наиболее ранняя опубликованная цитата, данная Даниэлой Кюн и др. принадлежит Райду и Вормолду (Reid, Wormald 1983)(Wormald 1983). Вормолд цитирует гипотезу как услышанную в частной беседе с Самнером.
- 1 2 Kühn, Mycroft, Osthus, 2011a.
- ↑ Это пример взят из статьи Кюн, Майкрофта и Остуса (Kühn, Mycroft, Osthus 2011a).
- ↑ Kühn, Mycroft, Osthus, 2011b.
- ↑ Kühn, Mycroft, Osthus, 2011a; El Sahili, 2004. Более слабые и полученные ранее границы для функции
можно найти в статьях Chung, 1981, Wormald, 1983, Häggkvist, Thomason, 1991, Havet, Thomassé, 2000b, Havet, 2002. - ↑ Häggkvist, Thomason, 1991.
- 1 2 Havet, Thomassé, 2000a.
- ↑ Havet, 2002.
- 1 2 3 Reid, Wormald, 1983.
- ↑ Havet, Thomassé, 2000b.
- ↑ Rosenfeld, 1972.
- ↑ Thomason, 1986.
- ↑ В статье Аве, но Аве приписывает его в этой статье Томасси.
- ↑ Burr, 1980.
- ↑ Это подправленная версия гипотезы Бёрра из статьи Вормолда (Wormald 1983).
Литература
- Stefan A. Burr. Subtrees of directed graphs and hypergraphs // Proceedings of the Eleventh Southeastern Conference on Combinatorics, Graph Theory and Computing (Florida Atlantic Univ., Boca Raton, Fla., 1980), Vol. I. — 1980. — Т. 28. — С. 227–239. — (Congressus Numerantium).
- Chung F.R.K. A note on subtrees in tournaments. — Bell Laboratories, 1981. — (Internal Memorandum).. Как процитировано у Вормолда (Wormald 1983).
- El Sahili A. Trees in tournaments // Journal of Combinatorial Theory. — 2004. — Т. 92. — С. 183–187. — DOI:10.1016/j.jctb.2004.04.002.
- Roland Häggkvist, Andrew Thomason. Trees in tournaments // Combinatorica. — 1991. — Т. 11. — С. 123–130. — DOI:10.1007/BF01206356.
- Frédéric Havet. Trees in tournaments // Discrete Mathematics. — 2002. — Т. 243. — С. 121–134. — DOI:10.1016/S0012-365X(00)00463-5.
- Frédéric Havet, Stéphan Thomassé. Oriented Hamiltonian paths in tournaments: a proof of Rosenfeld's conjecture // Journal of Combinatorial Theory. — 2000a. — Т. 78. — С. 243–273. — DOI:10.1006/jctb.1999.1945.
- Frédéric Havet, Stéphan Thomassé. Median orders of tournaments: a tool for the second neighborhood problem and Sumner's conjecture // Journal of Graph Theory. — 2000b. — Т. 35. — С. 244–256. — DOI:10.1002/1097-0118(200012)35:4<244::AID-JGT2>3.0.CO;2-H.
- Daniela Kühn, Richard Mycroft, Deryk Osthus. An approximate version of Sumner's universal tournament conjecture // Journal of Combinatorial Theory. — 2011a. — Т. 101. — С. 415–447. — DOI:10.1016/j.jctb.2010.12.006.
- Daniela Kühn, Richard Mycroft, Deryk Osthus. A proof of Sumner's universal tournament conjecture for large tournaments // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2011b. — Т. 102. — С. 731–766. — DOI:10.1112/plms/pdq035. — arXiv:1010.4430.
- Embedding oriented n-trees in tournaments // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. — 1983. — Т. 18. — С. 377–387.
- Rosenfeld M. Antidirected Hamiltonian paths in tournaments // Journal of Combinatorial Theory. — 1972. — Т. 12. — С. 93–99. — DOI:10.1016/0095-8956(72)90035-4.
- Andrew Thomason. Paths and cycles in tournaments // Transactions of the American Mathematical Society. — 1986. — Т. 296. — С. 167–180. — DOI:10.2307/2000567.
- Nicholas C. Wormald. Combinatorial mathematics, X (Adelaide, 1982). — Berlin: Springer, 1983. — Т. 1036. — С. 417–419. — (Lecture Notes in Math.). — DOI:10.1007/BFb0071535.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .